Warum Ableitungen?зачем производные на вступительном экзамене
В этой главе мы подходим к одному из основных навыков для вступительного экзамена WU, а именно умение работать с производными.
01.1Karte der Lektionчто и в каком порядке
Wortschatzтермины темы и обозначения экзамена
Термины — с артиклем, как они звучат в условии задачи. Группы свёрнуты: откройте ту, что нужна. Отдельно выучите два слова, на которых чаще всего теряют балл: durchschnittliche Änderungsrate — это средняя скорость на отрезке (секущая), а momentane Änderungsrate — мгновенная в точке (касательная, то есть f′(x)). Вторая пара — Wendepunkt и Sattelpunkt: у обоих f″ = 0, но у Sattelpunkt дополнительно f′ = 0.
Änderung und Änderungsrateизменение, средняя и мгновенная скорость изменения, производная
03.1Änderung: absolut und relativна сколько и насколько это много
Прежде чем говорить о производной, нужно понять, что вообще означает «изменение» функции.
Если величина была , а затем стала , то её абсолютное изменение (absolute Änderung) равно: .
То есть мы просто сравниваем новое значение со старым: НОВОЕ − СТАРОЕ.
Абсолютное изменение показывает, НА СКОЛЬКО изменилась величина: .
Gegeben: und . Berechnen Sie die absolute Änderung .
Например: , — на сколько изменилось значение?- Подставляем
- Абсолютное изменение
Значение функции увеличилось на .
Но иногда важно знать не только, насколько изменилась величина, а НАСКОЛЬКО ЭТО МНОГО ПО ОТНОШЕНИЮ К ЕЁ НАЧАЛЬНОМУ ЗНАЧЕНИЮ.
Для этого используется относительное изменение (relative Änderung): или .
Ein Preis steigt von auf . Berechnen Sie die absolute und die relative Änderung.
Например: было , стало — на сколько и на сколько процентов?- Было и стало
- Абсолютное изменение
- Относительное изменение
То есть: абсолютное изменение → ; относительное изменение → .
absolute Änderung: relative Änderung:
Absolute vs. relative Änderung · абсолютное изменение Δf = НОВОЕ − СТАРОЕ, относительное — то же деление на f(a)Это различие нам понадобится дальше, потому что производная тоже описывает изменение величины.
03.2Änderungsrate: durchschnittlich und momentanскорость изменения на интервале и в точке
- скорость в определённый Zeitpunkt;
- как быстро изменится в заданный момент времени;
- exakte Wachstum.
Теперь возникает следующий вопрос: «А насколько быстро функция изменяется именно в этой точке?»
Например, автомобиль за один час проехал в среднем км. Это говорит нам о средней скорости. Но автомобиль мог:
- → сначала ехать км/ч;
- → потом км/ч;
- → потом снова км/ч.
Средняя скорость не показывает, какая скорость была в конкретный момент. Для этого нужна мгновенная скорость изменения (momentane Änderungsrate).
Мгновенная скорость изменения показывает, как быстро функция изменяется В КОНКРЕТНОЙ ТОЧКЕ. Для этого мы уменьшаем рассматриваемый интервал: — и делаем его всё меньше и меньше. То есть рассматриваем: .
Средняя скорость изменения при всё меньшем приближается к мгновенной скорости изменения. Именно здесь появляется производная.
Grenzwert h → 0 · чем меньше h, тем ближе секущая к касательной — так рождается производная
- konstante Geschwindigkeit, которая нужна, чтобы из в дойти;
- durchschnittliche Wachstum.
Теперь представим, что функция изменилась не просто от до , а за некоторый промежуток по . Например: изменился от до . Тогда: , а изменение функции: .
Чтобы узнать, насколько в среднем изменялась функция на этом промежутке, делим изменение функции на изменение : .
Это называется средней скоростью изменения (durchschnittliche Änderungsrate). Она отвечает на вопрос: «Насколько в среднем изменилось значение функции на одну единицу ?»
Если нанести точки и на график функции и соединить их прямой, получим секущую (Sekante). Наклон этой секущей равен .
То есть: DURCHSCHNITTLICHE ÄNDERUNGSRATE → STEIGUNG DER SEKANTE. Поэтому средняя скорость изменения показывает наклон функции на целом промежутке.
Sekante: · Tangente:
Sekante vs. Tangente · средняя скорость на интервале — наклон секущей; мгновенная в точке — наклон касательнойСредняя скорость говорит нам, что происходило В СРЕДНЕМ на интервале. Но она не говорит точно, что происходит с функцией В КОНКРЕТНОЙ ТОЧКЕ.
03.3Die Ableitung: Definition, Tangente, Vorzeichenпредел, касательная и знак производной
В результате получаем — мгновенную скорость изменения функции в точке .
У средней скорости изменения геометрический смысл — наклон секущей (Sekante). У производной геометрический смысл — наклон касательной (Tangente).
То есть: DURCHSCHNITTLICHE ÄNDERUNGSRATE → Sekante → средний наклон на интервале. MOMENTANE ÄNDERUNGSRATE → Tangente → наклон в конкретной точке.
Производная показывает, насколько круто график идёт вверх или вниз именно в данной точке.
Это особенно важно, потому что точки, в которых , могут быть точками максимума или минимума функции. Позже мы будем использовать производную именно для поиска экстремумов.
03.4Beispiele: und Produktion значение функции и скорость её изменения
Gegeben ist die Funktion . Berechnen Sie und und erklären Sie den Unterschied zwischen beiden Werten.
Пример 1. Самый простой математический пример. Считаем значение функции и скорость её изменения в одной и той же точке .Возьмём . Посмотрим на несколько значений: , , . Функция растёт.
Но теперь спрашиваем: «Насколько быстро она изменяется в конкретной точке?» Для этой функции: .
- Значения функции
- Берём производную
- Подставляем точку|
- Скорость изменения в точке функция изменяется со скоростью 6 единиц на одну единицу
Ответ: ist der Funktionswert, ist die momentane Änderungsrate.значение функции и скорость её изменения — разные вещи
Обратите внимание на разницу: → значение функции. → скорость изменения функции.
То есть: ФУНКЦИЯ → «СКОЛЬКО?» · ПРОИЗВОДНАЯ → «КАК БЫСТРО МЕНЯЕТСЯ?»
Wert vs. Änderungsrate · f(3)=9 отвечает «сколько», f′(3)=6 — «как быстро меняется»
Eine Fabrik produziert Teile nach der Funktion . Dabei ist die Zeit in Stunden und die Anzahl der produzierten Teile. Mit welcher Geschwindigkeit wächst die Produktion zum Zeitpunkt ?
Пример 2. Производство. Фабрика производит детали; спрашивают не «сколько произведено», а «с какой скоростью растёт производство».| Anzahl der produzierten Teile | |
| Zeit in Stunden | |
| Zeitpunkt |
Представим, что фабрика производит детали. Количество произведённых деталей зависит от времени: , где — время в часах, — количество произведённых деталей.
Например: через 1 час ; через 2 часа ; через 3 часа .
Функция отвечает на вопрос: «СКОЛЬКО деталей произведено?» Но руководителю может быть интересен совсем другой вопрос: «С какой скоростью сейчас увеличивается количество произведённых деталей?»
- Значения функции
- Строим первую производную
- Подставляем момент|
- Скорость производства
Ответ: Zum Zeitpunkt wächst die Produktion mit 6 Teilen pro Stunde.в этот момент количество произведённых деталей изменяется со скоростью 6 деталей в час
Именно для этого нам нужна первая производная.
03.5Warum die Ableitung so wichtig istчто даёт первая производная
Производная позволяет анализировать не только само значение функции, но и её изменение.
- определить, где функция возрастает;
- определить, где функция убывает;
- определить скорость изменения величины;
- найти точки, где , и затем исследовать их как возможные максимумы или минимумы;
- понять поведение функции на разных участках.
- absolute ÄnderungНОВОЕ − СТАРОЕ
- relative Änderungдоля от начального значения → в процентах
- durchschnittliche ÄnderungsrateSteigung der Sekante — на интервале
- momentane ÄnderungsrateSteigung der Tangente — в точке
- Vorzeichen von steigend / fallend / waagerecht · ·
Durchschnittlich oder momentan? Vier Aufgabenкак по условию узнать, что от нас хотят
04.1Aufgabe 1 · Autoсредняя скорость на целом промежутке
Ein Auto fährt 150 km in 3 Stunden. Gesucht ist die durchschnittliche Geschwindigkeit.
Задача 1. Автомобиль. Машина проехала 150 км за 3 часа — найти среднюю скорость.| Strecke | |
| Zeit: von bis | |
| Gesucht: durchschnittliche Geschwindigkeit |
→ Здесь у нас DURCHSCHNITTLICHE ÄNDERUNGSRATE, потому что мы рассматриваем изменение за целый промежуток времени: von bis .
Почему именно так? показывает, какое расстояние пройдено к определённому моменту времени . Поэтому показывает, насколько изменилось расстояние за рассматриваемый промежуток времени. А показывает, сколько времени прошло.
То есть: Änderung des Weges делим на Änderung der Zeit.
- Подставляем значения
- Считаем дробь
- Средняя скорость
Ответ: Die durchschnittliche Geschwindigkeit beträgt 50 km/h.это средняя скорость за весь промежуток, а не в какой-то момент
ВАЖНО: — потому что в начале рассматриваемого промежутка машина прошла , а к моменту — .
— потому что рассматриваем промежуток от до часов.
04.2Aufgabe 2 · Fallender Gegenstandмгновенная скорость и знак минус
Ein geworfener Ball bewegt sich nach der Höhenfunktion . Dabei gilt: — Höhe in Metern, — Zeit in Sekunden. Frage: Mit welcher Geschwindigkeit bewegt sich der Ball nach 2 Sekunden?
Задача 2. Падающий предмет. Брошенный мяч движется по закону высоты ; нужна скорость через 2 секунды.| Höhe in Metern | |
| Zeit in Sekunden | |
| Gesucht: Geschwindigkeit bei |
→ Здесь у нас MOMENTANE ÄNDERUNGSRATE, потому что нас интересует скорость в КОНКРЕТНЫЙ МОМЕНТ: .
Нам нужна производная функции .
- Берём производную
- Подставляем момент|
- Мгновенная скорость
Ответ: Nach 2 Sekunden beträgt die momentane Änderungsrate −20 m/s.высота уменьшается со скоростью 20 метров в секунду
Почему здесь MINUS? Знак «−» показывает направление изменения. Высота уменьшается: мяч движется вниз.
Поэтому означает: Die Höhe nimmt mit 20 m/s ab. То есть высота уменьшается со скоростью 20 метров в секунду.
ВАЖНО: если спрашивают именно nach der Geschwindigkeit des Balls, часто имеют в виду величину скорости: .
Если же спрашивают momentane Änderungsrate или направленную скорость, сохраняем знак: .
04.3Aufgabe 3 · Steigung eines Hügelsсредний и мгновенный подъём
Die Höhe eines Bergweges wird durch die Funktion beschrieben. Dabei gilt: — Höhe, — zurückgelegte Strecke. Bestimmen Sie die durchschnittliche Steigung von bis und die momentane Steigung an der Stelle .
Задача 3. Подъём в гору. Высота горной тропы задана функцией ; нужно различить средний подъём на участке и подъём в конкретной точке.Здесь нужно различать DURCHSCHNITTLICHE и MOMENTANE STEIGUNG.
1. DURCHSCHNITTLICHE STEIGUNG. Если мы хотим узнать общий подъём на определённом участке пути, мы ищем . Это durchschnittliche Steigung. То есть мы смотрим, насколько в среднем изменилась высота на определённой дистанции.
Например: от до . Тогда . Это показывает средний подъём на всём участке от до .
2. MOMENTANE STEIGUNG. Если нас интересует подъём В КОНКРЕТНОЙ ТОЧКЕ пути, например , то нам нужна производная и затем . Это momentane Steigung или exakte Steigung an der Stelle .
То есть: показывает, насколько быстро изменяется высота в конкретной точке .
ЗАПОМИНАЕМ: формулировка условия сама указывает, какую из двух величин считать — «на участке» или «в точке».
— exakte Steigung an der Stelle
04.4Aufgabe 4 · Wachstumsrate einer Populationпроизводная показательной функции через Kettenregel
Eine Bakterienpopulation wächst nach der Funktion . Dabei gilt: — Anzahl der Bakterien, — Zeit in Stunden. Frage: Wie schnell wächst die Population nach 4 Stunden?
Задача 4. Рост популяции. Популяция бактерий растёт по показательному закону; нужна скорость роста через 4 часа.| Anzahl der Bakterien | |
| Zeit in Stunden | |
| Gesucht: Wachstumsgeschwindigkeit bei |
→ Здесь MOMENTANE ÄNDERUNGSRATE, потому что нас интересует скорость роста в КОНКРЕТНЫЙ МОМЕНТ: .
Сначала находим первую производную. Используем Kettenregel: , производная .
- Внутренняя функция| Kettenregel
- Производная по цепочке
- Упрощаем коэффициент
- Подставляем момент|
- Считаем показатель
- Приближённое значение потому что
Ответ: Nach 4 Stunden wächst die Population mit ungefähr 369 Bakterien pro Stunde.точный ответ — бактерий в час, приближённо
04.5Was ist der Unterschied? Merksatzкак за две секунды выбрать нужную величину
Wir betrachten einen ganzen Zeitraum oder einen ganzen Abschnitt.
Frage: «Wie stark hat sich etwas IM DURCHSCHNITT auf diesem Abschnitt verändert?»
Wir betrachten einen ganz bestimmten Punkt.
Frage: «Wie schnell verändert sich etwas GENAU AN DIESEM PUNKT?»
- über ein Intervalldurchschnittlichна промежутке — средняя величина
- an einem bestimmten Punktmomentanв конкретной точке — мгновенная величина
- durchschnittliche Änderungsrateнаклон секущей
- momentane Änderungsrateнаклон касательной
- VorzeichenRichtung der Änderungминус — величина убывает:
Новые ситуации — остывающий чай, бассейн, аккумулятор. По формулировке решаем, что считать: разностное отношение на промежутке или производную в точке, — и получаем число. В конце сортируем десять формулировок.
Übung 1 · Änderung und Änderungsrateпервый блок заданий
Пять заданий, по одному баллу. Проверяется первая развилка темы: спрашивают durchschnittliche или momentane Änderungsrate — считать разностное отношение на отрезке или подставлять число в производную. В Geführte Lösung вы сами проводите цепочку для высоты падающего тела по шагам, в Fehler im Lösungsweg ищете строку, где в разностное отношение подставили не то. Разбор показывается после проверки в любом случае.
Erste und zweite Ableitung: Steigung und Krümmungпервая и вторая производная: наклон и изгиб
06.1Die Schnellübersichtза что отвечают первая и вторая производная
Вся тема помещается в одну схему: первая производная отвечает за Steigung, вторая — за Krümmung.
- ← steigend
- ← fallend
- ← Extremum
- ← Min
- ← Max
- ← Wendepunkt
Эта схема — опорный материал. Она всегда под рукой в шпаргалке справа («Erste und zweite Ableitung»): посмотрел на знак — сразу знаешь, о чём тебя спрашивают.
06.2Erste Ableitung — Steigungпервая производная — наклон
Die erste Ableitung beschreibt die Steigung der Funktion. Steigung — это наклон графика.
Die Steigung zeigt, in welche Richtung der Graph geht und wie stark er geneigt ist.Простыми словами: наклон показывает, куда идёт график и насколько сильно он наклонён.
Поэтому первую производную читают всего по трём случаям — по её знаку.
→ Funktion ist STEIGEND
→ Funktion ist FALLEND
→ horizontale Tangente
→ KANDIDAT FÜR EINEN EXTREMPUNKT
Поэтому вся цепочка рассуждений по первой производной выглядит так:
06.3Zweite Ableitung — Krümmungвторая производная — изгиб
Die zweite Ableitung beschreibt die Krümmung der Funktion. Krümmung — это изгиб графика.
Die Krümmung zeigt, wie sich die Steigung des Graphen verändert.Первая производная → STEIGUNG, она показывает: «Куда идёт функция?»
Вторая производная → KRÜMMUNG, она показывает: «Как изменяется её наклон? Как она изгибается?»
→ KONVEX
🙂
→ nach oben gekrümmt
→ KONKAV
☹️
→ nach unten gekrümmt
🙂 → KONVEX → → MINIMUM
☹️ → KONKAV → → MAXIMUM
06.4Das Wichtigsteглавное из раздела
- Erste AbleitungSteigungкуда идёт график
- Zweite AbleitungKrümmungкак изгибается график
- Kandidat für einen Extrempunktкандидат на экстремум
- konvex, nach oben gekrümmt → Minimum
- konkav, nach unten gekrümmt → Maximum
Шесть заданий на чтение производных: знак → steigend/fallend/waagerechte Tangente, знак → konvex ∪ 🙂 / konkav ∩ 🙁, Wendepunkt — там, где меняет знак. Все функции — многочлены.
Extrempunkte: Minimum und Maximumточки экстремума: минимум и максимум
07.1Extrempunkt: Maximum und Minimumмаксимум и минимум — пять признаков
- waagrechte Tangente
- In einer Umgebung von sind alle Funktionswerte kleiner als
- nach unten gekrümmt
- waagrechte Tangente
- In einer Umgebung von sind alle Funktionswerte größer als
- nach oben gekrümmt
Два условия — две разные роли. Необходимое (notwendige Bedingung): . Без него экстремума в точке быть не может — но его одного мало: точка остаётся только кандидатом (пример: в нуле — касательная горизонтальна, а экстремума нет).
Достаточное (hinreichende Bedingung): (или смена знака в окрестности). Только оно позволяет сделать окончательный вывод: → Minimum, → Maximum. Порядок всегда такой: сначала необходимое отбирает кандидатов, потом достаточное решает.
Ein Extrempunkt ist ein Punkt, an dem die Funktion einen lokalen Höchst- oder Tiefstwert erreicht.
точка экстремума — точка, в которой функция достигает локально наибольшего или наименьшего значенияMINIMUM: функция до точки убывает, а после точки возрастает: FALLEND → STEIGEND.
MAXIMUM: функция до точки возрастает, а после точки убывает: STEIGEND → FALLEND.
В точке максимума: и .
In einer Umgebung des Punktes sind alle Funktionswerte kleiner als der Funktionswert .
то есть в некоторой окрестности точки все значения функции ниже, чем значение функции в самой точкеВ точке минимума: и .
In einer Umgebung des Punktes sind alle Funktionswerte größer als der Funktionswert .
то есть в некоторой окрестности точки все значения функции выше, чем значение функции в самой точке07.2Notwendige und hinreichende Bedingungнеобходимое и достаточное условие
Эти два понятия очень важны при поиске экстремумов — на экзамене их спрашивают словами, а не формулой.
Notwendige Bedingung — необходимое условие. Для локального экстремума внутри области определения, если функция дифференцируема: .
если в точке есть локальный экстремум, то при обычных условиях производная в этой точке должна быть равна нулюНо НЕ означает автоматически, что это минимум или максимум.
Prüfen Sie, ob die Funktion an der Stelle ein Extremum hat.
Проверяем, есть ли у экстремум в точке .- Берём функцию
- Находим производную
- Подставляем
- Но экстремума нет функция всё время возрастает: слева от нуля и справа тоже — знак не меняется
Поэтому необходимое условие ещё не является достаточным: отбирает кандидатов, а решает вторая производная.
Hinreichende Bedingung — достаточное условие. Для классификации Extrempunkt (критической точки, где ) с помощью второй производной: 1. и 2. .
вместе с — достаточное условие локального экстремумаВАЖНО: если , то этот тест ничего окончательно не говорит о Minimum или Maximum. Нужно использовать другой метод проверки.
07.3Das Wichtigsteглавное из раздела
- Extrempunktlokaler Höchst- oder TiefstwertMIN: fallend → steigend · MAX: steigend → fallend
- Maximumwaagrechte Tangente, nach unten gekrümmt, KONKAV
- Minimumwaagrechte Tangente, nach oben gekrümmt, KONVEX
- Notwendigтолько кандидат — пример
- Hinreichend und при тест не работает
Тренируем главное различие темы: — только notwendige Bedingung, кандидат. Решает hinreichende Bedingung — знак , а если , то знак слева и справа.
Lokal und globalлокальный и глобальный экстремум
08.1Lokal oder global?в чём разница
До этого мы говорили о локальных экстремумах. Теперь нужно различать: LOKAL и GLOBAL.
Lokales Minimum — локальный минимум — это точка, которая является минимумом в своей ближайшей окрестности.
In einer Umgebung von sind alle Funktionswerte größer als . Не обязательно, что это самое маленькое значение во всей функции.Lokales Maximum — локальный максимум — это точка, которая является максимумом в своей ближайшей окрестности.
In einer Umgebung von sind alle Funktionswerte kleiner als . Не обязательно, что это самое большое значение во всей функции.Globales Minimum — глобальный минимум — это самое маленькое значение функции на ВСЁМ рассматриваемом Gebiet / Intervall.
никакая другая точка в рассматриваемой области не имеет меньшего значения функцииGlobales Maximum — глобальный максимум — это самое большое значение функции на ВСЁМ рассматриваемом Gebiet / Intervall.
никакая другая точка в рассматриваемой области не имеет большего значения функции- — я знаю только, что это lokales.
- Решить .
- Вставить найденные корни в целую функцию.
- Посчитать и — края интервала / ОДЗ.
- Сравнить , и значения в корнях .
★ В интервале globales может быть:
- → внутри интервала;
- → на краях / → Randmax / Randmin.
08.2Wie findet man das globale Minimum/Maximumкак искать глобальный экстремум
Если дан закрытый интервал , то для поиска глобального Minimum или Maximum нужно проверить:
- → внутренние Extrempunkt-Kandidaten: ;
- → края интервала: , ;
- → все найденные точки подставляем в ИСХОДНУЮ функцию .
То есть сравниваем , и , где — корни уравнения .
После этого сравниваем полученные значения. Самое маленькое значение → GLOBALES MINIMUM. Самое большое значение → GLOBALES MAXIMUM.
Gegeben: auf
- Schritt 1. Найти первую производную: .
- Schritt 2. Решить . Получаем
- Schritt 3. Проверить, находятся ли найденные точки внутри рассматриваемого интервала или ОДЗ.
- Schritt 4. Подставить найденные точки в ИСХОДНУЮ функцию:
- Schritt 5. Обязательно проверить края: , .
- Schritt 6. Сравнить все полученные значения. Самое маленькое → globales Minimum; самое большое → globales Maximum.
Randminimum / Randmaximum — если глобальный экстремум находится на краю рассматриваемого интервала, например в или .
краевой минимум / краевой максимум — экстремум достигается на границе, а не во внутренней точкеВАЖНО: края интервала НЕЛЬЗЯ пропускать при поиске глобального экстремума.
08.3Das Wichtigsteглавное из раздела
- Lokalin einer Umgebung von минимум/максимум только рядом с точкой
- Globalauf dem ganzen Intervallсамое маленькое / самое большое значение на всём
- nur lokalдаёт только локальные кандидаты
- Ränder immer prüfenиначе потеряешь Randmax / Randmin
- Vergleichсравниваем значения самой функции, не производной
Глобальный экстремум на интервале ищем по алгоритму 08.2: кандидаты из внутри интервала плюс значения на краях , — и сравниваем значения самой функции.
„Ist bei x ein lokales Maximum oder Minimum?“«есть ли при x локальный максимум или минимум?»
09.1Zwei Methodenдва метода проверки
Если вопрос звучит: «Gibt es bei ein lokales Maximum oder Minimum?» — можно использовать ДВА МЕТОДА.
METHODE 1 — ÜBER DIE UMGEBUNG · через окрестность
- Смотрим, что происходит с первой производной слева и справа от точки .
- Берём одну точку слева и одну точку справа.
- Смотрим на изменение знака .
Получаем изменение знака:
Это означает: FALLEND → STEIGEND
Получаем изменение знака:
Это означает: STEIGEND → FALLEND
это называется исследованием в ОКРЕСТНОСТИ точки
METHODE 2 — ÜBER DIE ZWEITE ABLEITUNG · через вторую производную
- Сначала: .
- Затем вычисляем .
- Если → MINIMUM.
- Если → MAXIMUM.
- Если → этот тест не позволяет определить Minimum или Maximum.
ВАЖНО: если — возвращаемся к методу через Umgebung или используем другой критерий. По моей схеме: при смотрим на — если , это Wendepunkt; если , это Sattelpunkt.
09.2Das Wichtigsteглавное из раздела
- Methode 1Umgebungточка слева и точка справа → в
- fallend → steigendMINIMUM
- steigend → fallendMAXIMUM
- Methode 2, dann — Min, — Max
- kein Ergebnis → Wendepunkt, → Sattelpunkt
Два метода из 09.1: Methode 1 — Umgebung (точка слева и точка справа от в ) и Methode 2 — zweite Ableitung (знак ). Когда , работает только первая.
Wendepunkt und Sattelpunktточка перегиба и седловая точка
10.1Wendepunktточка перегиба
Wendepunkt — точка перегиба — это точка, в которой меняется Krümmung функции.
Im Wendepunkt wechselt die Krümmung — von konvex zu konkav oder von konkav zu konvex.То есть: кривизна меняется — konvex (∪ 🙂, ) → konkav (∩ 🙁, ) или наоборот.
Но: само по себе НЕ доказывает, что это Wendepunkt.
Нужно проверить: знак меняется?
10.2Wendepunkt oder Sattelpunkt?перегиб или седловая точка?
Обе точки — перегибы. Разница только в первой производной: наклонная касательная или горизонтальная.
| Wendepunkt | Sattelpunkt | |
|---|---|---|
| Что это | перегиб кривизны | горизонтальный перегиб |
| в Umgebung знак f′ не меняется | ||
| знак | меняется | меняется |
Две нижние строки у обеих точек одинаковые — поэтому решает строка : → Wendepunkt, → Sattelpunkt.
Sattelpunkt — это horizontaler Wendepunkt: перегиб, у которого касательная горизонтальна.
10.3Zwei Beispiele Schritt für Schrittдва примера по шагам
Untersuchen Sie auf Wendepunkte.
Есть ли у функции точка перегиба — обычная или седловая?- Первая и вторая производные
- Приравниваем к нулю| :6
- Проверяем точки рядом — знак меняется
- Смотрим ?
Untersuchen Sie auf Wendepunkte.
Есть ли у функции точка перегиба — обычная или седловая?- Первая и вторая производные
- Приравниваем к нулю| :6
- Проверяем точки рядом — знак меняется
- Смотрим ?
10.4Das Wichtigsteглавное из раздела
- Wendepunktточка, где меняется KrümmungKONVEX → KONKAV или KONKAV → KONVEX
- только кандидатсамо по себе НЕ доказывает, что это Wendepunkt
- Знак меняетсядоказательство перегибапроверяем точку слева и точку справа от
- normaler Wendepunktкасательная наклонная, как у в
- Sattelpunkt — horizontaler Wendepunktкасательная горизонтальна, как у в
Алгоритм 10.2: сначала (кандидат), потом — меняет ли знак (только тогда это Wendepunkt), и лишь затем смотрим : — normaler Wendepunkt, — Sattelpunkt.
Das vollständige Schema und das Wichtigsteполная схема и самое главное
11.1Das vollständige Schemaполная схема
Вся тема помещается в две ветки: первая производная отвечает за Steigung, вторая — за Krümmung.
Пример из тетради: , , .
означает: чем больше , тем больше значение функции — при подстановке большего значения растут.
- производная положительна
- производная положительна
- значение функции
- значения функции растут
— функция steigend.
означает: чем больше , тем меньше значение функции — при подстановке большего значения убывают.
- производная отрицательна (при )
- производная отрицательна
- значение функции
- значения функции убывают
— функция fallend.
: решаем уравнение — находим кандидата, затем смотрим .
- решаем | −3, :4
- konvex → Minimum
KONVEX — ∪ 🙂, nach oben gekrümmt
KONKAV — ∩ 🙁, nach unten gekrümmt
schräge Tangente — касательная наклонная.
waagerechte Tangente — касательная горизонтальна.
11.2Das Wichtigsteсамое главное
Самое главное коротко: что читает первая производная и что читает вторая.
- → STEIGEND
- → FALLEND
- → notwendige Bedingung → Kandidat für einen Extrempunkt — кандидат на экстремум
- → KONVEX → MINIMUM
- → KONKAV → MAXIMUM
- → кандидат на WENDEPUNKT
И ещё одна важная мысль:
Сравниваем с точками рядом, in einer Umgebung.
Сравниваем со ВСЕМИ точками на рассматриваемом Gebiet / Intervall.
- → внутренние кандидаты.
- + Randpunkte: и → обязательно проверяем все.
- Затем все значения сравниваем в ИСХОДНОЙ функции .
- Самое маленькое значение → globales Minimum.
- Самое большое значение → globales Maximum.
- Steigung: steigend, fallend, Kandidat für einen Extrempunkt — notwendige Bedingung, только кандидат на Extrempunkt
- Krümmung: konvex → Minimum, konkav → Maximum — кандидат на Wendepunkt
- Wendepunkt + знак меняется → normaler Wendepunkt; → Sattelpunkt
- lokalсравниваем только в einer Umgebungточки рядом слева и справа от
- globalвнутренние кандидаты + Randpunkte , все значения сравниваем в исходной : наименьшее → globales Minimum, наибольшее → globales Maximum
Weiter im Kurs
Продолжение — в курсе
Вы прошли 28 заданий из 108. Самое экзаменационное — дальше
Ableitungsregeln, Kosten-, Umsatz- und Gewinnfunktionen и настоящие Prüfungsaufgaben WU — дальше в этом уроке. Всё это уже ждёт внутри.